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浙江省2012年10月自考10025近世代数试题
浙江省2012年10月高等教育自学考试
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A＝{a，b}，B＝{1，2}，则A与B的积集合A×B＝
A.{a，b，1，2} B.{(a，1)，(b，1)，(a，2)，(b，2)}
C.{(a，b)，(1，2)} D.{(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)}
2.设A＝B＝Z(整数集)，如果A到B的映射
𝜑：n→|n|， ∀n∈Z，
则𝜑是从A到B的
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.既非单射也非满射 D.一一映射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，则S3中的所有2阶元为
A.(1)，(12)，(13)，(23) B.(12)，(13)，(23)
C.(12)，(23)，(123)，(132) D.(1)，(123)，(132)
4.整数加群Z的子群有______个。
A.1 B.2
C.6 D.无限
5.设(R，＋，·)是一个环，则下列叙述是正确的为
A.环R的理想一定是R的子环
B.环R的子环一定是R的理想
C.存在没有理想的环
D.环R关于乘法一定可以交换，即∀a，b∈R，有ab＝ba
非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6.设A＝{a，b，c}，则A的幂集合2A中含有______个元素。
7.设(G，·)是一个群，对于∀a∈G，有a－1∈G，那么，(a－1)－1＝______。
8.设σ＝(123)(234)，τ＝(243)(135)∈S5，那么，στ＝______(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有12个元素的群，H是G的一个子群，那么，根据Lagrange定理知，子群H中所含有的元素个数只可能是______。
10.在3次对称群S3中，设子群H＝{(1)，(12)}，则子群H关于元素(123)的左陪集(123)H＝______。
11.设Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}是以8为模的剩余类环，则Z8中的所有零因子是______。
12.当p为素数时，以p为模的剩余类环Zp是一个域，则Zp的特征是______。
13.设R是偶数环，(4)是由整数4生成的主理想，则(4)＝______。
14.设Z［x］是整系数多项式环，取f (x)＝x2＋2∈Z［x］，则f (x)在Z［x］中的所有因子共有______个。
15.已知是有理数域Q上的一个代数元，则单扩域Q()的结构为______。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z8是以8为模的剩余类加群，即
Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}。
找出Z8的全部生成元，并找出Z8的所有子群。
17.设Z是整数环，且知整数环Z的任意一个理想都是主理想。那么，(4，6)和(4)∩(6)
在Z中分别是由哪个元素生成的主理想？请说明你的理由。
18.在高斯整数环Z［i］＝{a＋b i|a，b∈Z}(其中i2＝－1)中，求Z［i］的所有单位，并给出元素5的一种不可约分解，从而说明5在Z［i］中有真因子。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
19.设G＝{x|x∈Q，x≠－1}，在G中规定代数运算“”：
xy＝x＋y＋xy，∀x，y∈G，
其中等式右边为通常的有理数加法和乘法，证明：(G，)作成一个群。
20.设P［x］是数域P上的一元多项式环，I＝{数域P上的所有常数项为0的多项式}，证明：I是P［x］的一个理想。
21.设高斯整数环Z［i］＝{a＋b i|a，b∈Z}，其中i2＝－1。取1＋i∈Z［i］，证明：
(1＋i)＝{x＋y i|x，y都是偶数}，
其中(1＋i)是由元素1＋i∈Z［i］生成的理想，并且求商环Z［i］/(1＋i)。
本试题下载：
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A＝{a，b}，B＝{1，2}，则A与B的积集合A×B＝
A.{a，b，1，2} B.{(a，1)，(b，1)，(a，2)，(b，2)}
C.{(a，b)，(1，2)} D.{(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)}
2.设A＝B＝Z(整数集)，如果A到B的映射
𝜑：n→|n|， ∀n∈Z，
则𝜑是从A到B的
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.既非单射也非满射 D.一一映射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，则S3中的所有2阶元为
A.(1)，(12)，(13)，(23) B.(12)，(13)，(23)
C.(12)，(23)，(123)，(132) D.(1)，(123)，(132)
4.整数加群Z的子群有______个。
A.1 B.2
C.6 D.无限
5.设(R，＋，·)是一个环，则下列叙述是正确的为
A.环R的理想一定是R的子环
B.环R的子环一定是R的理想
C.存在没有理想的环
D.环R关于乘法一定可以交换，即∀a，b∈R，有ab＝ba
非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6.设A＝{a，b，c}，则A的幂集合2A中含有______个元素。
7.设(G，·)是一个群，对于∀a∈G，有a－1∈G，那么，(a－1)－1＝______。
8.设σ＝(123)(234)，τ＝(243)(135)∈S5，那么，στ＝______(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有12个元素的群，H是G的一个子群，那么，根据Lagrange定理知，子群H中所含有的元素个数只可能是______。
10.在3次对称群S3中，设子群H＝{(1)，(12)}，则子群H关于元素(123)的左陪集(123)H＝______。
11.设Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}是以8为模的剩余类环，则Z8中的所有零因子是______。
12.当p为素数时，以p为模的剩余类环Zp是一个域，则Zp的特征是______。
13.设R是偶数环，(4)是由整数4生成的主理想，则(4)＝______。
14.设Z［x］是整系数多项式环，取f (x)＝x2＋2∈Z［x］，则f (x)在Z［x］中的所有因子共有______个。
15.已知是有理数域Q上的一个代数元，则单扩域Q()的结构为______。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z8是以8为模的剩余类加群，即
Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}。
找出Z8的全部生成元，并找出Z8的所有子群。
17.设Z是整数环，且知整数环Z的任意一个理想都是主理想。那么，(4，6)和(4)∩(6)
在Z中分别是由哪个元素生成的主理想？请说明你的理由。
18.在高斯整数环Z［i］＝{a＋b i|a，b∈Z}(其中i2＝－1)中，求Z［i］的所有单位，并给出元素5的一种不可约分解，从而说明5在Z［i］中有真因子。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
19.设G＝{x|x∈Q，x≠－1}，在G中规定代数运算“”：
xy＝x＋y＋xy，∀x，y∈G，
其中等式右边为通常的有理数加法和乘法，证明：(G，)作成一个群。
20.设P［x］是数域P上的一元多项式环，I＝{数域P上的所有常数项为0的多项式}，证明：I是P［x］的一个理想。
21.设高斯整数环Z［i］＝{a＋b i|a，b∈Z}，其中i2＝－1。取1＋i∈Z［i］，证明：
(1＋i)＝{x＋y i|x，y都是偶数}，
其中(1＋i)是由元素1＋i∈Z［i］生成的理想，并且求商环Z［i］/(1＋i)。
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