浙江省2012年10月自考10023实变函数与泛函分析初步试题

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。错选、多选或未选均无分。
1．设E={(x,y,0)|x2+y2<1},从R3来看,下列叙述正确的是
A. E是开集 B. E是闭集
C.  E中的点是内点 D.  E中的点是界点
2．设I=［0,1］,P是I中Cantor三分集，f(x)= ，则 
A.  1  B.  0
C. －1 D. 2
3．设f(x)在点集E Rn单调递增，E1是f(x)在点集E中可导的点的全体,则有
A. mE1<mE  B. mE1=mE
C. mE1>mE D. mE1≤mE
4．设An(n=1,2,…)是一列单调递增集合,F= An，G= ，下列关系式正确的是
A.  <      B.   =   
C.   >    D.    
二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。
5.致密集一定不含孤立点.
6．Cantor三分集中一定含有孤立点.
7.可数个零测度集的和集是零测度集.
8.y=f(x)在E Rn上L可积,则y=f(x)在E上R可积.
9．有界变差函数一定是连续函数.
10．y=f(x)在［a,b］满足Lipschitz条件，则f(x)在［a,b］上绝对连续.

三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
11．集合An(n=1,2,…)是集合S的子集,则CS( An)=______.
12．设A2n－1=［0,2－ ］，A2n=［0,1+ ］,n=1,2,…，则 An=______.
13．y=f(x)在E Rn可积，则mE［|f|= ］=______.
14．设f(x)= ，则 x∈R,f(x)在x的振幅ω(x,f)=______.
15．y=f(x)在E Rn有定义，f+(x)与f-(x)分别是f(x)的正部与负部,则f+(x)+f－(x)=______.
16．设f(x)是E Rn上实函数，则对任意实数a，  E［f>a－ ］=______.
17．设E是函数f(x)= 的图象上的点构成的集合，从R2来看，边界 E=______.
18．设Fn=［ ,1－ ］,n=3,4,…,则 Fn=______.
19．设E=(0, ),fn(x)= ，则当0<σ<1时，E[|fn|≥σ]=______.
20．设I1,I2分别是Rp,Rq的区间，E=I1×I2，当x I1，则截面测度mEx=______.

四、完成下列各题（本大题共3小题，第21与第22小题各8分，第23小题10分，共26分）
21.设E R1，f(x)是E上a.e有限的可测函数，证明存在R1上一列连续函数{gn(x)}使得
gn(x)=f(x)a.e.于E.
22.设E Rp，若对任意的ε>0,存在闭集F E  s.t.m*(E－F)<ε,证明E是可测集.
23.设f(x)在［a,b］上可积，则对任意的ε>0,必存在连续函数φ(x)∈C［a,b］ s.t. .

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