浙江省2014年4月自学考试10025近世代数试题

浙江省2014年4月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1.设集合，定义,，则是从A到B的
A.满射而非单射                                            B.单射而非满射
C.既非单射也非满射                                     D.一一映射
2.设Z是整数环，则Z的理想有
A.1个                                                           B.2个
C.3个                                                           D.无数个
3．设R表示所有的实数域上的n阶矩阵组成的集合，则下列叙述正确的是
A.R关于矩阵的加法作成一个群
B.R关于矩阵的乘法作成一个群
C.R关于矩阵的加法和乘法作成一个域
D.R的所有可逆矩阵关于矩阵的加法作成一个群
 
4．设(R，＋，·)是一个环，则下列叙述正确的是
A.若R是整环，则它的子环也是整环            B.若R是可交换的除环，则R是域
C.若R是一个域，则它不存在理想                D.若R是一个除环，则它的子环也是除环
5.设Z是整数环，则Z的可逆元有
A.1个                                                           B.2个
C.3个                                                           D.无数个
 
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6.在模12的剩余类加群Z₁₂中，阶是6的所有元素是______。
7．一个环R称为整环，如果R满足：______。
8．元素在有理数域Q上的极小多项式是______。
9.在模12的剩余类环Z₁₂中，所有可逆元是______。
10.在4次对称群S₄中，(324)(1234)^-1＝______。
11.设群G的阶为n，G中元a的阶为m，则n与m的关系是______。
12.设R是环，(a)表示由R中元素a生成的理想，当R是有单位元的交换环时，(a)＝______。
13.已知是有理数域Q上的一个代数元，则单扩域=______。
14.在整环I中，称元素a可以被元素b整除，如果存在元素c满足条件______。
15.任何一个群都与一个      群同构。
三、解答题（本大题共3小题，第16，17小题10分，第18小题11分，共31分）
16.设Q是有理数域，R是由所有形如

的矩阵组成的集合，验证R关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环。
17．设H={(1)，(13)}是3次对称群S₃的子群，
(1)求出S₃关于子群H的所有左陪集；
(2)H在S₃里的指数是多少？
18．设a是群G的元素，定义a在G中的中心化子为

现设G=GL₂(R)（表示实数域上所有2阶可逆矩阵组成的集合，它关于矩阵的乘法是一个群），设，求C(A)。
四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．设H,N都是群G的2个不变子群，证明：H∩N也是群G的不变子群。
20．设G是交换群，a是G中的3阶元，b是G中的5阶元，H=(a)，K=(b)，证明：H∩N={e}。
21．设R是环，I为R的非空子集，如果对任意的r₁，r₂∈I，s∈R，有r₁－r₂∈I，sr₁∈I，则称I为R的左理想。证明：
是矩阵环M₂(R)(注：M₂(R)表示所有2阶实矩阵关于矩阵的加法与乘法构成的环)的左理想。
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