浙江省2014年4月自学考试10022微分几何试题

浙江省2014年4月高等教育自学考试
微分几何试题
课程代码：10022

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1.设s是曲线的自然参数，k、τ和分别是曲线C的曲率、挠率和三个基本向量，则=
A.                                                     B.
C.                                                     D.
2.设曲线C的方程是x²+y²=9，则C的曲率是
A.                                                              B.
C.3                                                                D.9
3.已知曲面∑:，则∑的曲纹坐标曲线网是渐近网当且仅当
A.                                    B.
C.                                                 D.
4.若曲面∑和柱面等距同构，则∑的高斯曲率等于
A.－2                                                            B.－1      
C.0                                                                D.1
5.如果sin 2和sin 4是曲面∑上点P处的两个主曲率，则
A.点P是曲面∑的圆点
B. sin 4是∑在点P处所有方向的法曲率的最小值
C.点P是曲面∑的抛物点
D.点P是曲面∑的椭圆点
二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。
6.若曲线上的每一点的密切平面一定存在且唯一，则该曲线一定不是直线.
7.圆的挠率是常数，但椭圆的挠率不是常数.
8.曲纹坐标曲线网是正交网当且仅当M=0.
9.如果曲面上的曲线C既为测地线同时又为曲率线，则该曲线C是平面曲线.
10.在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和可以不是常数.

三、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
11.曲面∑是可展曲面当且仅当∑是柱面、锥面和曲线的______.
12.对于曲面∑上曲线Γ，设点P在Γ上，若Γ在点P处的测地曲率为1，且∑在点P处沿Γ切方向的法曲率为2，则Γ在点P处的曲率为______.
13.曲面在点(1,－1,－2)处的切平面方程为______.
四、计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
14.求曲线的曲率、挠率和自然方程.
15.求曲线在t=0时的切线方程和在任意点处的密切平面方程.
16.求曲面的单位法向量、第一基本形式、第二基本形式和法曲率.
17.求曲面z=xy²的第一基本量、第二基本量和渐近曲线.
18.已知圆环面T:，求T的第二基本形式、椭圆点、双曲点和抛物点.
五、证明题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
19.证明如果曲线的所有切线都过定点，则此曲线是直线.
20.设正则曲线c:落在以原点为中心的单位球面上，试证其切线总垂直于向径.
21.设曲面∑的第一基本形式，试证∑上的两条曲线u+v=0和u－v=0的交角的正弦是.

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