浙江省2013年7月自考10019复变函数试题

一、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。
1．当复数z=0时，其模为零，辐角也为零.
2．满足不等式 表示的点集是z平面上的一个单连通区域.
3．若z0是实系数多项式 的根，则 也是P(z)的根.
4．对任意的复数z，都有 .
5．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z∈D，有f1(z)≡f2(z).
6．每一个在z0解析的函数一定可以在z0的邻域内展开成幂级数.
7．若 是函数f(z)的可去奇点，则

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
8.函数eiz的周期为______.
9.设 ，则f(z)的定义域为______.
10.  =______.
11.已知曲线C为|z|=2的正向，则积分 =______.
12.幂级数 的收敛半径为______.
13.若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f′(z)的______阶零点.
14.设f(z)=z2在z=i的伸缩率为______.
15.设a为函数f(z)的n阶极点,则 =______.
三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
16.解方程组
17.计算积分 .
18.计算 .
19.将函数 在圆环域 内展开成洛朗(Laurent)级数.
20.求函数 在点z=0处的留数,其中n为正整数.
21.证明方程 在 内只有一个根.

四、(本大题10分)
22.应用刘维尔定理证明任意复系数n次多项式必有n个复根.
五、(本大题10分)
23.计算积分： ，其中a为正常数.
六、(本大题10分)
24.求将单位圆 映射成单位圆 的分式线性变换 ，且满足 , .
七、(本大题10分)
25.设 ，判断函数u(x,y)在全平面为调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使f(0)=0.

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